Nash Dengesi - Bedri Yılmaz

Nash Dengesi Nedir?

Nash dengesi, oyun teorisinin en önemli kavramlarından biridir ve adını Amerikalı matematikçi John Nash‘ten almıştır. Bu denge, stratejik etkileşim içinde olan bireylerin (oyuncuların) kararlarını modellemek için kullanılır. Nash dengesi, bir oyundaki her oyuncunun kendi stratejisini seçerken diğer oyuncuların stratejilerini dikkate aldığı ve hiçbir oyuncunun mevcut stratejisini değiştirerek daha iyi bir sonuç elde edemeyeceği durumdur.

Kısaca, Nash dengesi:

Her oyuncunun kendi stratejisine bağlı olarak en iyi seçimi yaptığı,
Ve hiçbir oyuncunun, diğerlerinin stratejileri sabitken, tek taraflı strateji değişikliğiyle kazancını artıramadığı bir durumdur.

Nash Dengesi Nasıl Çalışır?

Bir Nash dengesi, oyun teorisinde genellikle şu şekilde tanımlanır:

Birden fazla oyuncu vardır. Her oyuncunun bir veya birden fazla strateji seçeneği bulunur.
Her oyuncu, diğer oyuncuların stratejilerine göre maksimum faydayı (kazancı) sağlamayı hedefler.
Oyunda dengeli bir durumda, hiçbir oyuncu, kendi stratejisini değiştirerek daha iyi bir sonuç elde edemez.

Matematiksel olarak:
Eğer bir oyuncunun stratejisi ( S_i ) ve diğer oyuncuların stratejileri ( S_{-i} ) olarak tanımlanırsa, Nash dengesi şu şekilde ifade edilir:

[
u_i(S_i, S_{-i}) \geq u_i(S_i’, S_{-i})
]

Bu eşitlik, oyuncunun mevcut stratejisi (( S_i )) ile oynadığı durumda elde ettiği kazancın, başka bir stratejiye (( S_i’ )) geçtiğinde elde edeceği kazançtan daha büyük veya en azından eşit olduğunu belirtir.

Örneklerle Nash Dengesi

1. Mahkum İkilemi

İki suçlu bir suçtan dolayı yakalanır ve ayrı odalarda sorguya çekilir. Her biri şu seçeneklere sahiptir:

İtiraf etmek (suçu kabul etmek)
İnkâr etmek (susmak)

Eğer her iki taraf da susarsa, hafif bir ceza alırlar (örneğin, 1 yıl).
Eğer biri itiraf eder, diğeri susarsa, itiraf eden serbest kalır, diğeri ise ağır bir ceza alır (örneğin, 10 yıl).
Eğer her ikisi de itiraf ederse, orta düzeyde bir ceza alırlar (örneğin, 5 yıl).

Nash Dengesi: Her iki tarafın da itiraf etmesi. Çünkü bir oyuncu, diğerinin stratejisini değiştirmeyeceğini varsayarak, kendi kazancını maksimize etmek için itiraf etmeyi tercih eder.

2. Piyasa Rekabeti (Cournot Modeli)

İki şirket, bir ürünü piyasaya arz etmektedir. Her şirket, kendi üretim miktarını belirler ve toplam üretim piyasadaki fiyatı etkiler. Eğer bir şirket daha fazla üretirse, fiyat düşer ve toplam kazanç azalır.

Nash Dengesi: Her iki şirket, diğerinin üretim kararını göz önüne alarak kendi üretimini optimize eder. Sonuçta, her iki şirketin de üretim miktarını değiştirmek istemediği bir üretim seviyesi oluşur.

Nash Dengesinin Özellikleri

Kararlılık: Nash dengesinde, hiçbir oyuncu stratejisini değiştirmez çünkü başka bir strateji daha iyi sonuç getirmez.
Çoklu Denge: Bazı oyunlarda birden fazla Nash dengesi olabilir.
Evrensellik: Her oyunun bir Nash dengesine sahip olduğu matematiksel olarak ispatlanmıştır (karışık stratejiler dahil).
Karışık Stratejiler: Bazı oyunlarda oyuncuların birden fazla stratejiyi belirli olasılıklarla seçtiği durumlarda da Nash dengesi tanımlanabilir.

Nash Dengesinin Önemi

Nash dengesi, ekonomi, politika, biyoloji ve mühendislik gibi birçok alanda uygulanır. Özellikle:

Piyasa analizlerinde (şirketlerin fiyatlama ve üretim stratejileri),
Uluslararası ilişkilerde (nükleer caydırıcılık stratejileri gibi),
Sosyal davranış analizlerinde (bireylerin kolektif davranışları),
Biyolojik evrim süreçlerinde (ekosistemde denge durumları) sıkça kullanılır.

Sonuç

Nash dengesi, bireylerin kararlarının birbirine bağlı olduğu durumları anlamak için çok güçlü bir araçtır. Stratejik etkileşimlerin temelinde yatan dinamikleri modellemek, bu kavram sayesinde daha anlaşılır hale gelir. Nash’in teorisi, modern oyun teorisinin ve davranış bilimlerinin temel taşlarından biri olarak kabul edilir.

BedriYilmaz.com by Bedri Yılmaz is licensed under Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International