Asal Sayılar Nedir?
Asal sayılar, 1’den ve kendilerinden başka böleni olmayan doğal sayılardır. Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11, 13 asal sayılardır. 1 ve 0 asal sayı değildir.
Asal Sayılar ile Elde Edilen İlginç Sonuçlar
Asal sayılar matematiğin temel taşlarından biridir ve birçok ilginç sonucun elde edilmesinde kullanılır. Birkaç örnek:
1. Euclid’in Teoremi: Asal sayıların sonsuz sayıda olduğunu kanıtlar.
2. Goldbach Varsayımı: Her çift sayının (4 hariç) iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebileceğini öne sürer. Bu varsayım hala kanıtlanmamıştır.
3. İkiz Asallar: Aralarında 2 fark olan asal sayılar (örneğin 3 ve 5, 11 ve 13) sonsuz sayıda olup olmadığı hala bilinmemektedir.
4. RSA Şifreleme Sistemi: Asal sayılara dayanan ve internette güvenli veri iletişimi için kullanılan bir şifreleme sistemidir.
5. Mersenne Asalları: 2^p – 1 şeklinde ifade edilen ve p de asal sayı olan özel bir asal sayı türüdür. Bilinen en büyük asal sayı bir Mersenne asal sayısıdır.
6. Sophie Germain Asalları: 2p + 1 şeklinde ifade edilen ve p de asal sayı olan özel bir asal sayı türüdür.
7. Fibonacci Asalları: Fn = Fn-1 + Fn-2 formülü ile hesaplanan ve asal sayı olma olasılığı yüksek olan özel bir sayı dizisidir.
8. Ulam Spiral: Asal sayıları bir spirale yerleştirerek oluşturulan ve ilginç örüntüler ortaya çıkaran bir görselleştirmedir.
9. Sieve of Eratosthenes: Asal sayıları bulmak için kullanılan bir algoritmadır.
10. Prime Number Theorem: Büyük sayılarda asal sayıların dağılımını anlatan bir teoremdir.
11. Wilson Teoremi: (p-1)! ≡ -1 (mod p) şeklinde ifade edilen ve p asal sayı olan bir teoremdir.
12. Green-Tao Teoremi: Asal sayı dizisinde, her yeterince büyük sayının, belirli bir aralıkta yer alan asal sayılar çifti içerdiğini gösteren bir teoremdir.
13. Polignac Varsayımı: Her ardışık asal sayı çifti arasındaki farkın sınırlı olduğunu öne sürer.
14. Erdős–Kac Teoremi: Asal sayıların sonsuz sayıda asal faktöre sahip olduğunu gösterir.
15. Goldbach-Euler Teoremi: Her asal sayı, 4’e 1 fazlası veya 4’e 3 fazlası şeklinde ifade edilebilir.
16. Bertrand Postulatı: Her n > 3 tam sayısı için, n ile 2n arasında en az bir asal sayı bulunur.
17. Dirichlet Teoremi: Bir a > 1 tam sayısı ve bir d ≠ 0 tam sayısı için, a + nd şeklinde sonsuz sayıda asal sayı olduğunu gösterir.
18. Twin Prime Conjecture: Aralarında 2 fark olan asal sayılar (örneğin 3 ve 5, 11 ve 13) sonsuz sayıda olup olmadığı hala bilinmemektedir.
19. Pythagorean Üçlüleri: a^2 + b^2 = c^2 denklemini sağlayan ve a, b, c tam sayıları olan üçlülerden en az birinin asal sayı olması gerekir.
20. Sophie Germain Kimliği: 2p + 1 şeklinde ifade edilen ve p asal sayı olan Sophie Germain Asalları için 2^p – 1 sayısının da asal sayı olması gerekir.
Asal sayılar ile ilgili daha birçok ilginç bilgilen birkaçı:
1. Asal Sayılar ve Pi:
Bazı matematikçiler, pi sayısının asal sayılarla bir bağlantısı olduğunu düşünüyor. Bu bağlantı hala tam olarak bilinmese de, pi sayısının asal sayıların sonsuzluğuyla ilgili bir ipucu verebileceğine inanılıyor.
2. Asal Sayılar ve Evren:
Bazı fizikçiler, evrenin asal sayılarla bir bağlantısı olduğunu düşünüyor. Bu bağlantı hala tam olarak bilinmese de, evrenin temel yasalarının asal sayılarla ilgili bir yapıya sahip olabileceğine inanılıyor.
3. Asal Sayılar ve Zaman Yolculuğu:
Bazı matematikçiler, asal sayıların zaman yolculuğu ile ilgili bir bağlantısı olabileceğini düşünüyor. Bu bağlantı hala tam olarak bilinmese de, asal sayıların geçmiş ve gelecek arasındaki bağlantıyı kurmak için kullanılabileceğine inanılıyor.
4. Asal Sayılar ve Uzaylılar:
Bazı bilim adamları, uzaylıların varlığını bulmak için asal sayıları kullanabileceğimizi düşünüyor. Bu fikir, uzaylıların bize mesaj göndermek için asal sayıları kullanabilecekleri fikrine dayanıyor.
5. Asal Sayılar ve Bilinç:
Bazı araştırmacılar, bilincin asal sayılarla bir bağlantısı olduğunu düşünüyor. Bu bağlantı hala tam olarak bilinmese de, bilincin temel yapısının asal sayılarla ilgili bir yapıya sahip olabileceğine inanılıyor.
Asal Sayılar ve Müzik:
- Bazı müzik besteciler, eserlerinde asal sayıları kullanmışlardır. Örneğin, Joseph Haydn’ın “The Creation” adlı eseri 107 asal sayıdan oluşan bir diziye dayanmaktadır.
- Asal sayılar, müzikteki aralıkları ve akorları oluşturmak için de kullanılabilir.
Asal Sayılar ve Sanat:
- Asal sayılar, sanat eserlerinde de kullanılmıştır. Örneğin, M.C. Escher’in “Penrose Pflasterung” adlı eseri, asal sayılara dayanan bir mozaik desenidir.
- Asal sayılar, bilgisayar tarafından üretilen sanat eserlerinde de kullanılabilir.
Asal Sayılar ve Doğa:
- Asal sayılar, doğada da karşımıza çıkar. Örneğin, birçok çiçeğin taç yapraklarının sayısı bir asal sayıdır.
- Asal sayılar, bazı hayvanların davranışlarında da rol oynayabilir. Örneğin, bazı arı türleri, peteklerini inşa etmek için asal sayıları kullanırlar.
Asal Sayılar ve Bilgisayar Bilimi:
- Asal sayılar, bilgisayar biliminde de önemli bir rol oynar. Örneğin, RSA şifreleme sistemi, asal sayılara dayanmaktadır.
- Asal sayılar, büyük veri kümelerini aramak için kullanılan algoritmalarda da kullanılır.
Asal Sayılar ile İlgili Eğlenceli Gerçekler:
- Dünyanın en büyük bilinen asal sayısı 282,589,933 basamaklıdır.
- 1’den 100’e kadar olan asal sayıların %25’i 5 ile biter.
- 2, tek sayı olan asal sayıdır.
Sonsuz Sayıda Asal Sayı Vardır
Asalların sayıca sonlu olduğunu kabul edildiğinde ve bu asal sayıları P1, P2, P3, … , Ps , … , Pr ile giösterelim. En büyük asal sayımız Pr, asal sayılarımız arasındaki ilişkiyse P1 < P2 < P 3 < … < Ps < … < Pr şeklinde olsun. Örneğin P1=2, P2=3, P3=5, …
Tüm asalların çarpımı ile oluşturduğumuz sayıya N sayısı diyelim: N = P1·P2·P3· … ·Ps· … ·Pr.
N sayısından 1 eksilterek oluşturduğumuz (N-1) sayısı, aritmetiğin temel teoremi gereği, bir veya daha fazla asal sayının çarpımına eşittir. Bu durumda (N-1) sayısı, sonlu tane olan asal sayılarımızdan (P1, P2, P3, … , Ps, … , Pr) en az biri ile tam bölünür. Farz edelim ki Ps asal sayısı (N-1)’i tam böler.
N sayısı tüm asal sayıların çarpımından oluştuğu için Ps asal sayısı, N sayısını da kalansız olarak bölecektir. Çünkü Ps asal sayısı, N sayısının çarpanlarındandır.
Ps asal sayısı hem N sayısını hem de (N-1) sayısını böldüğü için (N-(N-1)) sayısını da bölecektir. Fakat (N-(N-1)) sayısı aslında 1’e eşittir ve Ps asal sayısının 1’i bölebileceği sonucu yanlıştır. Çünkü 1 sayısının kendisinden başka böleni yoktur.
O hâlde ispatta bir şeyler yanlış gitmiştir. Fakat ispatın ilk cümlesindeki “asalların sayıca sonlu olduğu” varsayımından sonraki tüm satırlar mantıksal olarak doğrudur. Bu nedenle aslında ilk cümle doğru değildir. Sonuç olarak, asal sayıların sonlu olduğunu kabul etmek yanlıştır, asal sayılar sonsuzdur.
Asal Sayılar
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 157, 167, 179, 191, 193, 197, 223, 227, 233, 257, 263, 311, 313, 317, 337, 353, 373, 383, 461, 563, 593, 613, 641, 647, 653, 739, 769, 797, 823, 863, 881, 937, 953, 971, 983, 1087, 1091, 1097, 1103, 1217, 1283, 1297, 1301, 1367, 1433, 1481, 1487, 1489, 1493, 1601, 1607, 1613, 1741, 1867, 1873, 2063, 2137, 2269, 2377, 2383, 2393, 2417, 2683, 2687, 2689, 3167, 3251, 3257, 3301, 3307, 3313, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3527, 3797, 3917, 3923, 4007, 4133, 4517, 4787, 4793, 4937, 5381, 5387, 5413, 5647, 5651, 5653, 5657, 6317, 6367, 6373, 6661, 7193, 7457, 7523, 7937, 8741, 9437, 9461, 9467, 9473, 10457, 10459, 11777, 11783, 11827, 11833, 11909, 12101, 12107, 12113, 12641, 12647, 12653, 12659, 13007, 13009, 13313, 13457, 13463, 13469, 13693, 13757, 13873, 14087, 14327, 14621, 14633, 14741, 14753, 15313, 15641, 15647, 15731, 15733, 15737, 15803, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073, 17389, 18217, 19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433, 20353, 21011, 21013, 21017, 21487, 21493, 22153, 22273, 22277, 23327, 23741, 25301, 25307, 26113, 26177, 26189, 26393, 26687, 26717, 27737, 28657, 29021, 30097, 30103, 30109, 30637, 30977, 31393, 32057, 32063, 32257, 32303, 32713, 33347, 33349, 33617, 33623, 34217, 35531, 35537, 35597, 35801, 36013, 36473, 37489, 37991, 38327, 38453, 38459, 38669, 38917, 39233, 41183, 41953, 42403, 42461, 43313, 43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 44273, 44537, 44543, 47143, 47501, 47741, 55337, 55661, 58907, 60337, 62207, 65537, 65713, 67217, 68903, 69997, 73517, 77261, 77263, 77557, 79693, 79697, 79817, 82793, 84313, 84443, 87553, 88807, 88811, 88813, 91577, 92381, 92383, 92861, 93257, 93497, 95087, 95267, 97001, 98317, 98473, 98893, 99137, 99713, 101111, 101113, 101117, 101377, 101483, 101531, 102197, 102677, 103393, 103997, 104723, 105601, 105613, 105971, 106217, 108881, 109847, 110569, 110921, 110927, 110939, 111833, 112241, 112247, 112501, 112571, 112577, 113017, 113149, 113153, 113167, 113173, 113189, 114197, 115337, 115769, 115777, 116537, 118247, 119297, 120097, 120557, 120563, 120817, 120941, 121001, 122027, 122033, 122273, 122833, 123731, 124297, 124301, 124303, 124309, 124777, 125113, 126713, 127481, 128663, 129287, 129533, 129587, 129593, 131707, 131783, 132229, 132857, 132863, 132953, 134087, 134207, 135893, 139297, 139303, 140417, 144161, 144163, 144167, 144169, 144253, 144589, 146051, 146057, 150217, 150377, 151241, 152423, 153941, 154061, 154073, 155381, 156677, 156683, 157433, 159233, 159617, 159793, 161977, 162257, 162523, 163633, 163841, 163853, 163993, 164621, 165701, 165703, 165707, 165709, 165713, 166847, 166849, 167113, 167621, 168527, 168737, 171047, 171167, 172421, 172427, 174767, 176021, 176927, 176989, 177013, 182927, 185057, 186877, 190577, 191447, 191453, 194861, 195737, 195743, 198823, 201497, 201823, 201827, 202753, 203657, 211661, 214457, 221713, 223247, 223837, 225347, 228847, 247607, 257861, 257863, 258113, 258611, 259163, 266683, 268817, 269183, 275917, 276043, 276821, 284737, 284743, 293087, 302983, 326141, 326147, 334427, 347987, 354253, 361217, 381377, 397757, 402763, 416413, 419603, 421703, 434927, 463451, 465167, 470083, 470213, 518807, 536447, 626623, 633467, 633797, 661097, 661103, 666433, 739397, 748877, 768197, 795797, 823723, 829727, 855733, 857957, 876017, 954263, 958547, 959473, 959477, 974867, 978073, 997103, 1008857, 1022383, 1022387, 1022507
© 2024, Bedri Yılmaz.
BedriYilmaz.com by Bedri Yılmaz is licensed under Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International
